一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學：如果整數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么a叫作b的倍數(shù)，b叫作a的約數(shù)（也叫因數(shù)）；如果整數(shù)a不能被自然數(shù)b整除，就表示a不是b的倍數(shù)，或者b不是a的約數(shù)。

小學數(shù)學：小學數(shù)學教材中一般是這樣闡述因數(shù)和倍數(shù)的概念的。2004年北京版教材第10冊的第46頁指出：如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫作b的倍數(shù)，b就叫作a的約數(shù)（也就是因數(shù)）。例如，15能被3整除，15是3的倍數(shù)，3是15的因數(shù)。2013年人教版教材五年級下冊第12頁指出：2x6=12，2和6是12因數(shù)，12是2和6的倍數(shù)。

二．概念解讀

(1)因數(shù)和倍數(shù)的表達

因數(shù)和倍數(shù)表示的是一個數(shù)與另一個數(shù)的關系，它們是兩個相互依存的概念，不能單獨存在。因此，在敘述時，一定要說明哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)，而不能說成某數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。例如對15÷3=5，應說15是3的倍數(shù)，3是15的因數(shù)；而不能說15是倍數(shù)，3是因數(shù)。

(2)求一個數(shù)的因數(shù)的***

例如，18的因數(shù)有哪些？用乘法想：哪兩個整數(shù)相乘的積是18？18=1×18，18=2×9......用除法想：18÷1=18，18÷2=9......

一個數(shù)的因數(shù)可以從1找起，也就是從最小的因數(shù)找起，一直找到它本身（如18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18），也可以一對一對地找（如18的因數(shù)有1和18，2和9，3和6）。

(3)求一個數(shù)的倍數(shù)的***

例如，你能找出多少個2的倍數(shù)？從2的1倍找起，接著2的2倍、3倍……也可以這樣想：2x1=2，2x2=4，2×3=6…...

學生會發(fā)現(xiàn)，一直這樣找下去是找不完的，說明2的倍數(shù)有無數(shù)個。

(4)一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的特點

一個數(shù)的最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，它的因數(shù)的個數(shù)是有限的。

一個數(shù)的最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)，它的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

(5)有趣的數(shù)

①完全數(shù)，又叫完美數(shù)。

—個自然數(shù)的所有真因數(shù)之和等于它本身，這樣的自然數(shù)叫完全數(shù)。

真因數(shù)即除了本身以外的所有正因數(shù)。例如，6的因數(shù)有：1、2、3、6。除去它本身6之外，剩下的1、2、3這三個因數(shù)都是6的真因數(shù)。把這三個真因數(shù)加起來---1+2+3=6，它們的和正好等于它本身，所以6就是一個完全數(shù)。

再如28，把它所有的真因數(shù)加起來---1+2+4+7+14=28，它們的和也正好等于它本身，所以28也是一個完全數(shù)。

前十個完全數(shù)是：

6（1位）

28（2位）

496（3位）

8128(4位)

33550336（8位）

8589869056(10位)

137438691328（12位）

2305843008139952128(19位)

2658455991569831744654692615953842176(37位)

191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)

最早研究完全數(shù)的是古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯。完全數(shù)自從誕生后，就一直吸引著眾多數(shù)學家與業(yè)余愛好者像淘金一樣去尋找。目前已發(fā)現(xiàn)47個完全數(shù)，都是偶數(shù)，尾數(shù)是6或8，于是人們又在猜測會不會有奇完全數(shù)存在呢？

完全數(shù)還有許多有趣的性質(zhì)：

a.每個完全數(shù)都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和(三角形數(shù))。

例如：6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+...+30+31

b.每個完全數(shù)它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都等于2，因此每個完全數(shù)又都可以叫做調(diào)和數(shù)。

例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

c.除6以外的每個完全數(shù)各位數(shù)字相加直到變成一位數(shù)，這個一位數(shù)一定是1。這也可以看作：除6以外的完全數(shù)，被9除都余1。

例如：28---2+8=10,1+0=1

496----4+9+6=19,1+9=10,1+0=1

②虧數(shù)和盈數(shù)。

對于“4”這個數(shù)，它的真因數(shù)有1、2，它們的和是3，比4本身小，像這樣的自然數(shù)叫作虧數(shù)。

對于“12”這個數(shù)，它的真因數(shù)有l(wèi)、2、3、4、6．它們的和是16，比12本身大，像這樣的自然數(shù)叫作盈數(shù)。

所以，完全數(shù)就是既不盈余、也不虧欠的自然數(shù)。

③相親數(shù)，又稱親和數(shù)、友愛數(shù)。

兩個正整數(shù)中，彼此的全部真因數(shù)之和與另一方相等。

例如220與284，220的全部真因數(shù)相加的和是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。284的全部真因數(shù)相加的和是：1+2+4+71+142=220。

所以，220與284是一對親和數(shù)。它是由古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，是人類認識的第一對親和數(shù)，也是最小的一對?，F(xiàn)在，人們找到的親和數(shù)已經(jīng)超過了1200多對。

人們發(fā)現(xiàn)的前十對親和數(shù)為：220與284,1184與1210，2620與2924,5020與5564,6232與6368,10744與10856,12285與14595,17296與18416,63020與76084,66928與66992。

人們還研究了友好數(shù)鏈：這是一連串自然數(shù)，其中每—個數(shù)的真因數(shù)之和都等于下一個數(shù)，最后一個數(shù)的真因數(shù)之和等于第一個數(shù)。如12496,14288,15472,14536,14264。

其中，最長的鏈競包含了28個數(shù)：14316,19116,31704,47616,83328,177792,295488,629072,589786,294896,358336,418904,366556.274924,275444,243760,376736,318028,285778,152990,122410,97946,48976,45946,22976,22744,19916,17716。

三．教學建議

(1)注意弄清乘法算式中的“因數(shù)”與本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系與區(qū)別

在同一乘法算式中，乘號兩邊的數(shù)叫作因數(shù)，這是相對于“積”而言的。此時的因數(shù)和積可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)、分數(shù)。本單元中的因數(shù)，是相對于“倍數(shù)”而言的，因數(shù)和倍數(shù)具有整除的關系，所以因數(shù)和倍數(shù)都只能是整數(shù)。

(2)注意弄清“倍數(shù)”與“倍”的聯(lián)系與區(qū)別

“倍”的概念的外延比“倍數(shù)”要廣，比如對12÷3=4，1.2÷0.3=4．我們在用“倍”表述時可以說：12是3的4倍，1.2是0.3的4倍。而用“倍數(shù)”表述時只能說：12是3的倍數(shù)，而不能說1.2是0.3的倍數(shù)，因為只有在整除的情況下才有因數(shù)與倍數(shù)的關系。

(3)引導學生自主探究找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的***

一個數(shù)的因數(shù)有哪些？倍數(shù)有哪些？教師可以放手讓學生先嘗試去找。學生初次去找有可能找不全，當出現(xiàn)問題后學生反而會去思考：用什么***去找？從幾找起？這樣可以使學生在活動體驗中逐步感悟出找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的***，并逐步感悟出一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)各有什么特點。

(4)注意滲透***思想

教師可以借助***圈表示出一個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)，使學生更好地感受到一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的；同時為后面用交集形式表示兩個數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)打下基礎。

四．推薦閱讀

(1)《小學數(shù)學知識樹》(劉開云、李燕燕，北京大學出版社，2008)

該書第一部分《數(shù)與運算》的第二章《數(shù)的整除》中介紹了與因數(shù)和倍數(shù)相關的知識。

(2)《對“因數(shù)與倍數(shù)”教學內(nèi)容的再思考》（丁國忠，《小學數(shù)學》，2008年第2期）

該文分析了這部分內(nèi)容中相關概念之間的緊密聯(lián)系以及本部分內(nèi)容的學習對后續(xù)數(shù)學學習的重要意義，對因數(shù)和倍數(shù)在中小學階段的重要功能進行了深入思考。