1、冪函數的概念

一般地，函數叫做冪函數，其中是自變量，是常數；其定義域是使有意義的值的***。

例1、已知冪函數，且當時為減函數。求冪函數的解析式。

分析：正確理解冪函數的概念、冪函數的圖象與性質。求冪函數的解析式，一般用待定系數法，弄明白冪函數的定義是解題的關鍵。

解答：由于為冪函數，

所以，解得，或。

當時，，在上為減函數；

當時，，在上為常函數，不合題意，舍去。

故所求冪函數的解析式為。

2、冪函數的圖象和性質

圖象：

性質：

（1）所有的冪函數在上都有定義，并且圖象都過點；

（2）如果，則冪函數的圖象過點和，并且在區間上是增函數；

（3）如果，則冪函數的圖象過點，并在區間上是減函數。在第一象限內，當從趨向于原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸；

（4）當為奇數時，冪函數為奇函數；當為偶數時，冪函數為偶函數。

例2、比較，，的大小。

分析：先利用冪函數的增減性比較與的大小，再根據冪函數的圖象比較與的大小。

解答：

而在上單調遞增，且

，

。故。

例3、若函數在區間上是遞減函數，求實數m的取值范圍。

分析：本題考查簡單冪函數的性質以及函數圖象的平移問題。

函數是一個比較常用的冪函數，它也叫做反比例函數，其定義域是，是一個奇函數，對稱中心為（0，0），在和上都是遞減函數。一般地，形如的函數都可以通過對的圖象進行變換而得到，所以這些函數的性質都可以借助的性質來得到。

解答：由于

，所以函數的圖象是由冪函數

的圖象先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到的，所以其圖象如圖所示。

其單調遞減區間是和，而函數在區間上是遞減函數，所以應有。

例4、若點在冪函數的圖象上，點在冪函數的圖象上，定義，試求函數的最大值及其單調區間。

分析：首先根據冪函數的定義求出，然后在同一坐標系下畫出函數和的圖象，得出的函數圖象，最后根據圖象求出最大值和單調區間。

解答：設，因為點在的圖象上，所以，所以，即；

又設，點在的圖象上，所以，所以，即。

在同一坐標系下畫出函數和的圖象，如圖所示，則有

。

根據圖象可知函數的最大值等于，其單調遞增區間是（，－1）和（0，1）；單調遞減區間是和。

例5、已知冪函數是偶函數，且在上是減函數，求函數的解析式，并討論的奇偶性。

分析：先根據單調性求出m的取值范圍，再由奇偶性進一步確定m的取值。討論的奇偶性時要注意對字母的討論。

解答：由在上是減函數得，。∵，0，1。

又因為是偶函數，∴只有當時符合題意，故。

于是

，

。

當且時，為非奇非偶函數；

當且時，為奇函數；

當且時，為偶函數；

當且時，為既奇又偶函數。

例6、已知冪函數在上是增函數，且在定義域上是偶函數。

（1）求的值，并寫出相應的函數的解析式；

（2）對于（1）中求得的函數，設函數。問是否存在實數，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。

分析：第一問先根據單調性求出的取值范圍，再由奇偶性進一步確定的取值。第二問可根據復合函數單調性的規律來解。

解答：（1）∵冪函數在上是增函數，∴∴

又，∴

∵在定義域上是偶函數，∴只有當時符合題意，故。

（2）由，則。

假設存在實數，使得滿足題設條件。令，則。

∵在上是減函數，∴當時，；當時，。

若在區間上是減函數，且在區間上是增函數，則在上是減函數，且在上是增函數，此時二次函數的對稱軸方程是即，

∴

。

故存在實數，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數。