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中國剩余定理
民間傳說著一則故事——“韓信點兵”。
秦朝末年,楚漢相爭。一次,韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場,楚軍不敵,敗退回營,漢軍也死傷四五百人,于是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡,忽有后軍來報,說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚,殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊,這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂,見來敵不足五百騎,便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排,結果多出2名;接著命令士兵5人一排,結果多出3名;他又命令士兵7人一排,結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布:我軍有1073名勇士,敵人不足五百,我們居高臨下,以眾擊寡,一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥,這一來更相信韓信是“神仙下凡”、“神機妙算”。于是士氣大振。一時間旌旗搖動,鼓聲喧天,漢軍步步進逼,楚軍亂作一團。交戰不久,楚軍大敗而逃。
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945(注:因為5、9、13、17為兩兩互質的整數,故其最小公倍數為這些數的積),然後再加3,得9948(人)。
在一千多年前的《孫子算經》中,有這樣一道算術題:
“今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?”按照今天的話來說:一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個數.
這樣的問題,也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題,也就是初等數論中解同余式.這類問題的有解條件和解的***被稱為“中國剩余定理”,這是由中國人首先提出的.
①有一個數,除以3余2,除以4余1,問這個數除以12余幾?
解:除以3余2的數有:
2,5,8,11,14,17,20,23….
它們除以12的余數是:
2,5,8,11,2,5,8,11,….
除以4余1的數有:
1,5,9,13,17,21,25,29,….
它們除以12的余數是:
1,5,9,1,5,9,….
一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中,只有5是共同的,因此這個數除以12的余數是5.
如果我們把①的問題改變一下,不求被12除的余數,而是求這個數.很明顯,滿足條件的數是很多的,它是5+12×整數,
整數可以取0,1,2,…,無窮無盡.事實上,我們首先找出5后,注意到12是3與4的最小公倍數,再加上12的整數倍,就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3余2,除以4余1”兩個條件合并成“除以12余5”一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件,我們可以先把兩個條件合并成一個.然后再與第三個條件合并,就可找到答案.
②一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數.
解:先列出除以3余2的數:
2,5,8,11,14,17,20,23,26,…,
再列出除以5余3的數:
3,8,13,18,23,28,….
這兩列數中,首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合并成一個就是8+15×整數,列出這一串數是8,23,38,…,再列出除以7余2的數2,9,16,23,30,…,
就得出符合題目條件的最小數是23.
事實上,我們已把題目中三個條件合并成一個:被105除余23.
那么韓信點的兵在1000-1500之間,應該是105×10+23=1073人
中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題:「今有物,不知其數,三三數之,剩二,五五數之,剩三,七七數之,剩二,問物幾何?」
答曰:「二十三」
術曰:「三三數之剩二,置一百四十,五五數之剩三,置六十三,七七數之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數之剩一,則置七十,五五數之剩一,則置二十一,七七數之剩一,則置十五,即得。」
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考,不過根據考證,著作年代不會在晉朝之后,以這個考證來說上面這種問題的解法,中國人發現得比西方早,所以這個問題的推廣及其解法,被稱為中國剩余定理。中國剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。
簡單扼要總結:
1.算兩兩數之間的能整除數
2.算三個數的能整除數
3.用1中的三個整除數之和減去2中的整除數之差(有時候是倍數)
4計算結果即可
韓信帶1500名兵士打仗,戰死四五百人,站3人一排,多出2人;站5人一排,多出4人;站7人一排,多出6人。韓信馬上說出人數:1049
如多一人,即可湊整。幸存人數應在1000~1100人之間,即得出:
3乘5乘7乘10減1=1049(人)
剩余定理
也稱中國剩余定理,孫子定理。是中國先圣們對一次同余論的重大貢獻。.
問題敘述
在我國古代勞動人民中,長期流傳著“隔墻算”、“剪管術”、“秦王暗點兵”等數學游戲。
我國公元四世紀的數學著作《孫子算經》卷下記載:
物不知數
今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?
即,求一個數,除以3余2,除以5余3,除以7余2。
這個被稱做孫子問題。
孫子算經之解法
《孫子算經》所給答案是N=23。由于孫子問題數據比較簡單,這個答數通過試算也可以得到。但是《孫子算經》并不是這樣做的。
“物不知數”題的術文指出的解法為:
三三數之,取數七十,與余數二相乘;五五數之,取數二十一,與余數三相乘;七七數之,取數十五,與余數二相乘。將諸乘積相加,然后減去一百零五的倍數。列成算式就是:
N=70×2+21×3+15×2-2×105。
有一首口訣就描述了孫子問題的解法:
孫子歌
三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,
七子團圓正半月,除百令五便得知。
孫子算法的關鍵,在于70、21和15這三個數的確定。后來流傳的《孫子歌》中所說“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”,就是暗指這三個關鍵的數字。《孫子算經》沒有說明這三個數的來歷。
中國剩余定理,又叫中國余數定理,是數論中的一個關于一元線性同余方程組的定理,說明了一元線性同余方程組有解的準則以及求解的***。也稱為孫子定理,古有"韓信點兵","孫子定理","求一術"(宋沈括),"鬼谷算","隔墻算","剪管術"(宋楊輝),"秦王暗點兵"之名。
原文如下:
有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?即,一個整數除以三余二,除以五余三,除以七余二,求這個整數
解答***:三人同行七十希,五樹梅花廿一枝,七子團圓正半月,除百零五便得知。
意思是:將除以3得余數乘以70,將除以5得余數乘以21,將除以7得余數乘以15,全部加起來后再減去105或105的整倍數,得到的數就是答案。
70X2+21x3+15x2=233=105x2+23,
結果就是23。
解法舉例:
例一:一個數,除以5余1,除以3余2。問這個數最小是多少?
采用通用的***:逐步滿足法
把除以5余1的數從小到大排列:1,6,11,16,21,26,……
然后從小到大找除以3余2的,發現最小的是11.
所以11就是所求的數。
先滿足一個條件,再滿足另一個條件,所以稱之為“逐步滿足法”。
例二:一個數除以5余1,除以3也余1。問這個數最小是多少?(1除外)
特殊的***:最小公倍法
除以5余1:說明這個數減去1后是5的倍數。
除以3余1:說明這個數減去1后也是3的倍數。
所以,這個數減去1后是3和5的公倍數。要求最小,所以這個數減去1后就是3和5的最小公倍數。即這個數減去1后是15,所以這個數是15+1=16.
例三:一個數除以5余4,除以3余2。問這個數最小是多少?
這種情況也可以用最小公倍法。
數除以5余4,說明這個數加上1后是5的倍數。
數除以3余2,說明這個數加上1后也是3的倍數。
所以,這個數加上1后是3和5的公倍數。要求最小,所以這個數加上1后就是3和5的最小公倍數。即這個數加上1后是15,所以這個數是15-1=14。
多個數的,比如3個數的,有時候其中兩個可以用特殊法,那就先用特殊法,用特殊法求出滿足兩個條件的數后再用通用的***求滿足最后一個條件的數。
例四:有1個數,除以7余2.除以8余4,除以9余3,這個數至少是多少?
除以7余2的數可以寫成7n+2。
7n+2這樣的數除以8余4,由于2除以8余2,所以要求7n除以8余2。
7n除以8余2,7除以8余7,要求n除以8余6(乘數之余等于余數之乘),則n最小取6。
所以滿足“除以7余2,除以8余4”的最小的數是7×6+2=44,
所有滿足“除以7余2,除以8余4”的數都可以寫成44+56×m。
要求44+56×m除以9余3,由于44除以9余8,所以要求56×m除以9余4。(加數之余等于余數之加)
56×m除以9余4,由于56除以9余2,所以要求m除以9余2(乘數之余等于余數之乘),則m最小取2。
所以滿足“除以7余2,除以8余4,除以9余3”的最小的數是44+56×2=156。
例五:三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?
即,一個整數除以三余二,除以五余三,除以七余二,求這個整數。
除以3余2和除以7余2的數可以寫成21n+2。
21n+2除以5余3,要求21n除以5余1。
21n除以5余1,21除以5余1,要求n除以5余1(乘數之余等于余數之乘),則n最小取1。
所以滿足“除以3余2,除以5余3,除以7余2”的最小的數是21×1+2=23。
標準解法:先從3和5、3和7、5和7的公倍數中相應地找出分別被7、5、3除均余1的較小數15、21、70(注釋:此步又稱為求"模逆"運算,利用擴展歐幾里得法并借助計算機編程可比較快速地求得.當然,對于很小的數,可以直接死算)。即
15÷7=2……余1,
21÷5=4……余1,
70÷3=23……余1.
再用找到的三個較小數分別乘以所要求的數被7、5、3除所得的余數的積連加,
15×2+21×3+70×2=233.(將233處用i代替,用程序可以求出)
最后用和233除以3、5、7三個除數的最小公倍數.
233÷105=2……余23,
這個余數23就是合乎條件的最小數.
例六:一個數被5除余2,被6除少2,被7除少3,這個數最小是多少?
題目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4。看到那個“被6除余4,被7除余4”了么,有同余數的話,只要求出6和7的最小公倍數,再加上4,就是滿足后面條件的數了,6X7+4=46。
下面一步試下46能不能滿足第一個條件“一個數被5除余2”。不行的話,只要再46加上6和7的最小公倍數42,一直加到能滿足“一個數被5除余2”。這步的原因是,42是6和7的最小公倍數,再怎么加都會滿足“被6除余4,被7除余4”的條件。
46+42=88
46+42+42=130
46+42+42+42=172
這個數最小是172.
“
中國古代數學有著輝煌的成就,今天大小吳將為大家介紹在中國數學史上非常著名的中國剩余定理。
1韓信點兵問題
這個問題首先要從一個叫做“韓信點兵”的故事說起。
秦末時期,楚漢相爭,漢初三杰之一的韓信有一次帶1500名兵士打仗,戰死四五百人。為了統計剩余士兵的個數,韓信令士兵3人一排,多出2人;5人一排,多出4人;7人一排,多出6人。韓信據此很快說出人數:1049人。漢軍本來就十分信服韓信大將軍,經此之后就更加相信韓信是“天神下凡,神機妙算",于是士氣大振,鼓聲喧天,在接下來的戰役中漢軍步步緊逼,楚軍亂作一團,大敗而逃。韓信由此名揚天下,被后世譽為“兵仙“,“神帥”。
那么韓信是如何快速算出士兵人數的呢?韓信點兵問題可以用現代數學語言描述如下:若士兵人數是,則有除以3余2,除以5余4,除以7余6.
我們也可以用同余式來表示這個問題:
我們發現,若將,則可以同時被3、5、7整除,即
所以一定是3、5、7的最小公倍數的整數倍,由于3、5、7兩兩互素,則
所以
即
其中是正整數,當時
這樣,韓信就計算出了剩余士兵的人數。
2孫子算經與物不知數問題
實際上,這類問題就是在求解初等數論中的同余方程組。在數學史上韓信點兵問題也被稱為物不知數問題,最早記載于一千多年前的《孫子算經》中:
“
今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?
轉化為現代數學語言,即解整數滿足的同余式
這個問題和上文所說的韓信點兵問題類似,但是,它不具備上一個問題那么好的性質,因為無論使加上或減去一個數,都無法同時被3、5、7整除。那么,這個問題該如何解決呢?
宋朝數學家秦九韶于1247年《數書九章》卷一、二《大衍類》對“物不知數”問題做出了完整系統的解答。明朝數學家程大位將解法編成易于上口的《孫子歌訣》:
“
三人同行七十稀,五樹梅花廿一支(二十一),七子團圓正半月,除百零五使得知。
這首詩的意思是:將除以3得到的余數乘以70,將除以5得到的余數乘以21,將除以7得到的余數乘以15,全部加起來后除以105得到的余數就是答案。
根據這個算法,可得:
因此物不知數問題的最小正整數解即為,事實上,23確實滿足除以3余2,除以5余3,除以7余2,這個問題的通解為
其中是自然數。
3中國剩余定理
對于這個問題,如果是一般情況,該如何處理呢?例如,有同余式:
我們把這個問題分解成三個同余式方程組
那么初始問題就有最小正整數解
因此只要能找到滿足條件的即可。以為例,由同余式可得,
因此
所以存在使得
因此
其中的存在性可以證明,因為有如下定理:
“
若,則必然存在使得
對于這個定理的證明,可以考慮***中的最小正整數,只要證明這個最小正整數就是1即可。
考慮其中最小的正整數,,只需證明且,由于互素,所以只能為1.
這件事可以用反證法證明:若不能整除,則必有
因此
因此余數也可以表示成一個整數乘以加上另一個整數乘以的形式,又因為是小于的,這就和最開始的假設是最小的正整數相矛盾了,因此必有
因此存在性得證。
事實上這樣的不僅存在,而且也比較好尋找,其中70就是既能被5、7同時整除又能除以3余1的最小正整數,所以,同理可得,,因此這類問題就有了通解:
原來上面的古詩中出現的70、21、15這三個數是這么來的!
一般來講,給定個不同的素數,則同余方程組
一定是有解的,求解這個問題只需構造基礎解系:
因此有
因為都是素數,因此的存在性是顯然的。
求解上述問題的過程與***就稱為“中國剩余定理”,又稱為“孫子定理”。
中國剩余定理的傳播最早在1852年由英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲。1874年,英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”,成為了初等數論中非常重要的一個定理。
中國剩余定理釋義:又稱“孫子定理”。1852年,英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲。1874年,英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”。
孫子定理是中國古代求解一次同余式組(見同余)的***。是數論中一個重要定理。又稱中國余數定理。一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期(公元5世紀)的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題,叫做“物不知數”問題,原文如下:
有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?即,一個整數除以三余二,除以五余三,除以七余二,求這個整數。《孫子算經》中首次提到了同余方程組問題,以及以上具體問題的解法,因此在中文數學文獻中也會將中國剩余定理稱為孫子定理。
擴展資料:
中國剩余定理說明:假設整數m1,m2,...,mn兩兩互質,則對任意的整數:a1,a2,...,an,方程組??有解,并且通解可以用如下方式構造得到:設??是整數m1,m2,...,mn的乘積,并設??是除了mi以外的n-1個整數的乘積。
方程組??的通解形式為?
一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期(公元5世紀)的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題,叫做“物不知數”問題,原文如下:
有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?
即,一個整數除以三余二,除以五余三,除以七余二,求這個整數。《孫子算經》中首次提到了同余方程組問題,以及以上具體問題的解法,因此在中文數學文獻中也會將中國剩余定理稱為孫子定理。
宋朝數學家秦九韶于1247年《數書九章》卷一、二《大衍類》對“物不知數”問題做出了完整系統的解答。明朝數學家程大位將解法編成易于上口的《孫子歌訣》:
三人同行七十稀,五樹梅花廿一支,七子團圓正半月,除百零五使得知
這個歌訣給出了模數為3、5、7時候的同余方程的秦九韶解法。意思是:將除以3得到的余數乘以70,將除以5得到的余數乘以21,將除以7得到的余數乘以15,全部加起來后減去105(或者105的倍數),得到的余數就是答案。比如說在以上的物不知數問題里面,按歌訣求出的結果就是23。
參考資料:百度百科---孫子定理
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