*本文節選自《數學與人類文明》，蔡天新著，商務印書館。

當人們發現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數字2）時，數學就誕生了。

——伯特蘭·羅素

1、記數的開始

如同古代世界的許多偉人一樣，數學史上的先驅人物也消失在歷史的迷霧中。然而，數學每前進一步，都伴隨著人類文明的一次進步。億萬年前，那些居住在巖洞里的人就有了數的概念，在為數不多的事物中間增加或取出幾個同樣的事物，他們能分辨出多寡（不少動物也具有這類意識）。本來，對食物的需求出自人類的生存本能。慢慢地，人類就有了明確的數的概念：1，2，3，……正如部落的頭領需要知道有多少成員，牧羊人也需要知道他擁有多少只綿羊。

在有文字記載以前，記數和簡單的算術就發展起來了。打獵的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同種族稱呼家庭主要成員的聲音大同小異一樣，人類最初的計數***也是相似的，例如，當數羊的只數時，每有一只羊就扳一個手指頭。后來，才逐漸衍生出三種有代表性的記數***，即石子記數（有的是用小木棍）、結繩記數和刻痕記數（土坯、木頭、石塊或獸骨上），這樣不僅可以記錄較大的數字，也便于累計和保存。

在古希臘的荷馬史詩《奧德賽》中有這樣一則故事：當主人公奧德修斯刺瞎了獨眼巨人波呂斐摩斯僅有的一只眼睛以后，那個不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊兒外出吃草，每出來一只，他就從一堆石子里撿出一顆。晚上羊兒返回山洞，每進去一只，他就扔掉一顆石子。當他把早晨撿起的石子全都扔光時，他就確信所有的羊兒返回了山洞。這則故事告訴我們，很可能是牧羊人計算羊群的只數產生了數學，正如詩歌起源于乞求豐收的禱告，這兩項人類最古老的發明均源于生存的需要。

說來有點殘酷，一些美洲印第安人通過收集被殺者的頭皮來算計他們殺敵的數目，而一些非洲的原始獵人通過積累野豬的牙齒來算計他們殺死野豬的數目。據說，居住在乞力馬扎羅山坡上游牧民族的少女習慣在頸上佩戴銅環，其個數等于自己的年齡，這比起如今緬甸某些少數民族的婦女所保持的相似的習俗多了審美以外的含義。從前，英國酒保往往用粉筆在石板上畫記號來計數顧客飲酒的杯數，而西班牙酒保則通過向顧客的帽子里投放小石子來做這一計數，這兩種不同的計數***似乎也反映出這兩個民族不同的個性：謹慎和浪漫。

后來，就產生了各種各樣的語言，包括對應于大小不同的數的語言符號。再后來，隨著書寫方式的改良，就形成了代表這些數的書寫符號。最初，在諸如兩只羊和兩個人所用的語音和用詞也是不同的。例如，在英語中teamofhorses（共同拉車或拉犁的兩匹馬），yokeofoxen（共軛的兩頭牛），spanofmules（兩只騾），braceofdogs（一對狗），pairofshoes（一雙鞋），等等。至于漢語里的量詞變化，那就更多了，且一直保留至今。

可是，人類把數2作為共同性質抽象出來，并采用與大多數具體事物均無關的某個語音來替代它，或許是經過了很長時間才實現的。如同英國哲學家兼數學家伯特蘭·羅素所說的，“當人們發現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數字2）時，數學就誕生了。”而在我看來，數學的誕生或許要稍晚一點，即是在人們從“2只雞蛋加3只雞蛋等于5只雞蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等”中抽象出“2+3=5”之時。

2、數基和進制

當需要進行更廣泛的數字交流時，就必須將計數***系統化。世界各地的人們不約而同地采取了以下***：把從1開始的若干連續的數字作為基本數字，以它們的組合來表示大于這些數字的數。換言之，如果大于1的某個數b作為計數的進位制或基（base），并確定出數目1，2，3，……，b的名稱，則任何大于b的數均可以用這b個數的一個組合表示。

有證據表明，2，3和4都曾被當作原始的數基。例如，澳大利亞昆士蘭州的原住民是這么計數的，“1，2，2和1，兩個2，……”。某些非洲矮人是這么稱呼最前面的6個自然數的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”這兩種計數均為2進制，它的應用后來導致了電子計算機的發明。而阿根廷火地島的一個部落和南美的其他一些部落則分別以數字3和4為基。

不難設想，由于人類的每只手和腳均有5個手指或腳趾，5進制一度得到了廣泛的應用。至今某些南美部落仍用手計數，“1，2，3，4，手，手和1，等等”。直到1880年，德國的農歷仍以5為數基。1937年，在捷克摩拉維亞地區出土的一塊幼狼脛骨上，幾十道刻痕明顯是以5進制排列的。而西伯利亞的尤卡吉爾人居住在世界上最寒冷的地方（勒拿河下游），至今仍采用一種類似于5-10混合進制的方式計數。

12也常被用來作數基，這可能與它被6個數整除有關，也可能是因為一年有12個溯望月。例如，1英尺有12英寸，1英寸有12英分，1先令是12便士，1英鎊是12盎司（金衡制，常衡制是16盎司）。有意思的是，直到上個世紀70年代，中國鄉村的秤還刻有兩種進制，包括16進制。與此同時，沒有12進制的中國人的文字里也有“打”這個概念。而英語里除了dozen（打）以外，甚至還有gross（籮），一籮是12打，一打是12個。

20進制也曾被廣泛使用，它使我們想起人類的赤腳時代，一雙腳和一雙手共有20個指頭。美洲印第安人使用過它，包括高度發達的瑪雅文明。在法語里，至今仍用4個20來表示80（quatre-vingts），4個20加10來表示90（quatre-vingt-dix）。丹麥人、威爾士人和蓋爾人的語言中也能發現這種痕跡，令人驚奇的是，這些地方并非都是溫帶。在英語里20（score）是個常用字，而漢語里也有“廿”這個字。至于古代巴比倫人使用的60進制，即使在今天仍在時間和角度計量單位中不可或缺。

可是，人類最終仍普遍接受了10進制。在有記載的歷史中，包括古埃及的象形數字、中國的甲骨文數字和籌算數碼、希臘的阿提卡數字、印度的婆羅門數字，等等，都采用了10進制。在我們的頭腦里，10已成為數制的必然單位，正如2已被電腦特別擁有。原因十分簡單，博學的希臘哲學家亞里士多德已經為我們指出，“10進制的廣泛采納，只不過是由于我們絕大多數人生來具有10個手指這樣一個解剖學的事實結果。”

除了口說以外，用手指表達數也曾長期被采納。英語里的digit原本是指手指或腳趾，后來才表示從1到9這些數字，如今我們正處于數字時代（digitalage）。事實上，原始人甚或開化的人，在進行口頭計數時往往同時做出一些手勢。例如，當說到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。而某些部落或民族，我們可以通過觀察他們計數時的手語來判斷其歸屬。在今天的中國，我們仍然可以通過一個人劃拳的手勢大致弄清楚他或她究竟來自哪個地區或省份。

3、***數系

據考古學發現，刻痕記數大約出現在三萬年以前，經過極其緩慢的發展，大約在公元前三千多年，終于出現了書寫記數和相應的數系。可能是受手指表達數的影響，最早的表示數1，2，3和4的書寫符號大多是相應數目的豎或橫的堆積。前者有古埃及的象形文字、希臘的阿提卡數字和中國的縱式籌碼數字和瑪雅數字，后者有中國的甲骨文數字和橫式籌碼數字以及印度的婆羅門數字（數4例外）。

有意思的是，以上提到的受手指影響用豎或橫來表達前4個數的數系均不約而同的采用了10進制，而另外兩種著名的數系，即巴比倫的楔形數字和瑪雅數字，分別用一個個銳利的小等腰三角形和小圓點來表示，卻采用了60進制和20進制。在數5和5以后，即使同屬豎寫的數系也有不同表達法，以10為例，古埃及人用軛或鍾骨∩（***論中的“并”），古希臘人用△（第4個希臘字母），而中國人則用4個豎上面加1橫。

所謂***數系是指由0，1，2，3，……，9這10個記號及其組合表達出來的10進制數字體系。例如，在911這個數中，右邊的1表示1個，中間的1卻表示1乘以10，而9表示9乘以100。在今天世界上存在的數以千計的語言系統里，這10個***數字是惟一通用的符號（比拉丁字母使用范圍更廣）。可以想象，假如沒有***數系，全球范圍內的科技、文化、政治、經濟、軍事和體育方面的交流將變得十分困難，甚至不可能進行。

***數系也被稱為印度-***數系，這是因為它是印度人發明的，經由***人改造后傳遞到西方。后一項文明的流通是在12世紀完成的，前一項發明的起源就不得而知了，只是由于近代考古學的進展，在印度的一批石柱和窯洞的墻壁上發現這些數字的痕跡，其年代大約在公元前250年到公元200年之間。值得一提的是，那些痕跡里并沒有零號，而在公元825年前后，***人花拉子密的著作《印度的計算術》里卻描述了已經完備的印度數碼，今日英文和德文里的零就是依據***文音譯的。

***數字是隨著***人鼎盛時期的遠征傳入北非和西班牙的，據說一位叫萊奧拉多的意大利人曾受教于西班牙的***數學家，還曾游歷北非。他回到意大利以后，于1202年出版了一部數學著作，這是***數字傳入***以外的歐洲的里程碑，對稍后的意大利文藝復興時期的數學有一定的促進作用。有意思的是，也是在13世紀，威尼斯人馬可·波羅實現了歐洲人對東方的首次訪問。其時橫跨歐亞大陸的君士坦丁堡是個戰亂紛爭之地，這位旅行家也是經由北非和中東繞過地中海，不過是沿著與***數字傳播路線相反的方向。

4、形而幾何學

數系的出現使得數的書寫和數與數之間的運算成為可能，在此基礎上加、減、乘、除乃至于初等算術便在幾個古老的文明地區發展起來，而后來數系的統一則使世界數學的研究和應用插上了翅膀。與數的概念形成一樣，人類最初的幾何知識也是他們從對形的直覺中萌發出來的，例如，不同種族的人都注意到了圓月和挺拔的松樹在形象上的區別。可以想見，幾何學便是建立在對這類從自然界提取出來的“形”的總結的基礎之上。

一條直線只是一段拉緊了的繩子，來自希臘文的英文Hypotenuse（斜邊、弦）的原意就是“拉緊”。我們可以設想，這是將一個直角的兩臂拉緊后的聯線，而arms（手臂）也就成了兩條直角邊。如此看來，三角形的概念是人們通過對自己身體的觀察得到的。巧合的是，在古代中國也是這樣，勾、股作為小腿和大腿同時也是直角三角形中較短或較長的直角邊，因而我們才有勾股定理的稱謂。在西安半坡出土的陶器殘片上，我們可以看到完整的全等三角形圖案，每條邊由間隔相等的8個小孔連接而成。同樣，圓、正方形、長方形等一系列幾何形式的概念也來自于人們的觀察和實踐。

正如古羅馬歷史學家希羅多德所指出的，埃及的幾何學是“尼羅河的饋贈”。早在公元前14世紀或更早，埃及的一個國王將土地分封給所有的國民，每個人都得到一塊同樣面積大小的土地，然后據此納稅。如果一年一度的尼羅河洪水沖毀了某個人的土地，那么它就必須向法老報告所受的損失。法老會派專人來測量所失去的土地，再按相應的比例減稅。這樣一來，幾何學（geomerty）就產生并發展起來了，geo意指土地，metron是測量。這類專門負責測量事物的人有專門的名稱，叫做“司繩”（rope-stretcher）。

巴比倫人的幾何學也是源于實際的測量，它的重要特征是其算術性質，至少在公元前1600年，他們就已熟悉長方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面積計算。古印度幾何學的起源則與宗教和建筑實踐密切相關，公元前8世紀至5世紀形成的所謂繩法經，便是關于祭壇與寺廟建造中的幾何問題及其求解。在古代中國，幾何學的起源更多地與天文觀測相聯系，至晚在公元前2世紀成書的《周髀算經》討論的正是天文測量中所用的幾何***。

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