1983年12月，考古人員從湖北江陵張家山247號漢墓發(fā)掘出一批竹簡，隨后從中整理出一部不見于著錄、早已失傳的古代數學專著——《筭數書》。

與《筭數書》同時整理出來的古代文獻還有《二年律令》《奏讞書》《蓋廬》《脈書》《引書》“歷譜”等。“歷譜”所記最后一年是西漢呂后二年，即公元前186年，估計墓主死亡不會距此太遠。所以，考古人員認定《筭數書》成書年代的下限是西漢呂后二年，實際成書時間應當早于此年，可能是秦代或先秦的著作。

《筭數書》的出土，引起國際數學史界的注意。2002年8月15日至18日在西安舉行的數學史國際會議上，來自美國的數學史專家道本（JosephW.Dauben）做了“關于《筭數書》的初步研究”的報告，美國加州大學圣迭戈分校的美籍華人科學史專家程貞一做了“《筭數書》和盈不足***”的報告，中國的幾位學者也做了有關《筭數書》的研究報告。《筭數書》的研究成為這次大會的一個討論熱點。

《筭數書》是一部數學問題集。全書有近七十個題名。題名有的以計算***命名，如“相乘”、“分乘”、“約分”、“合分”、“徑分”等；也有的以該題正文中的主題詞命名，如“共買材”、“狐出關”、“息錢”、“飲漆”、“稅田”、“賈鹽”、“粟求米”、“負炭”、“分錢”、“方田”、“囷蓋”、“以圜材方”、“以方材圜”、“里田”等。該書依“題——答——術”的體例編寫。“題”，指命題，即數學問題；“答”，指解答，即對例題的解答；“術”，指由例題的解答歸納出該類問題的一般算法。全書按照內容可以分為兩類：一類是整數和分數的四則運算法則；另一類是跟當時生產、生活實際密切相關的各種應用題及解法。如“羽矢”是有關造箭的應用題、“旋粟”是有關農業(yè)估產的應用題、“息錢”是有關借貸的應用題。依現代數學分類法，這些應用題有的屬于算術問題，有的屬于幾何問題。考古人員認為，《筭數書》可能是秦漢官吏，尤其是負責經濟管理工作的官吏學習數學知識的課本和工具書。

《筭數書》涉及的算術知識包括整數、分數、比例、盈不足等問題。書中沒有完整地敘述整數的運算，只是專門提出了整數的進位，“一乘一，十也；一乘十萬，十萬也；十乘十萬，百萬。十乘千，萬也；十乘萬，十萬也；十乘十萬，百萬；十乘百萬，千萬。百乘萬，百萬；千乘萬，千萬。半乘百，五十；半乘千，五百；半乘萬，五千。”其間各數全都是十進位制。十進位值制記數法簡捷、明快、實用，運算方便。馬克思稱之為人類“最美妙的發(fā)明之一”。中國是世界上最早使用“十進位值制”記數法的國家。古代埃及采用的是“十進累計制”記數法；古巴比倫采用的是“六十進位值制”記數法；印度雖然采用的是“十進位值制”記數法，但已到了了公元6世紀。“十進位值制”記數法是中國對世界數學的卓越貢獻。商周的甲骨文和鐘鼎文中已有了系統的個位、十位、百位乃至萬位的自然數數字，大于十的自然數都用十進位制。從殷商到戰(zhàn)國時期，整數的加減乘除應當是很普通的算術知識，所以《筭數書》中不必再敘述了。但在“里田”的標題下，該書提出了以平方里為單位面積的土地折合成頃畝的整數簡便運算***。按照一般算法，求一平方里所合頃畝數，須先將一里化作300步，然后相乘，得若干平方步，再除以240平方步，得到畝數，計算很復雜。“里田術”提出兩種解法，其一是：“里乘里，里也；廣從（縱）各一里，即直一，因而三之，有（又）三五之，即為田三頃七十五畝。”用算式表示為：

1里×1里＝1平方里（里乘里，里也。）

1平方里×3＝3（即直一，因而三之。）

3×5×5×5＝375畝（有（又）三五之。）

＝3頃75畝

其二是：以第一種解法的結果為基礎，即一平方里等于3頃75畝，根據乘法分配律，與任何數值的平方里相乘即得頃畝數。這種“里田術”應當是秦漢管理賦稅的官吏必須掌握的算術知識。

《筭數書》全面介紹了分數的性質和運算法則，包括通分、約分、分數的括大、縮小及四則運算。有關比例的計算題約占全書內容的一半，有正比例、反比例，分配比例、連比例、復比例，包含了現代數學全部的比例類型。《筭數書》中還有三道盈不足的問題。典型例題是“分錢”，“分錢人二而多三，人三而少二，問幾何人，錢幾何？得曰：五人，錢十三。術曰：嬴（盈）不足五乘母，并之為實，子相從為法。皆贏若不足，子互乘母而各異直之，以子少者除子多者，余為法，以不足為實。”其解法為：（1）根據題目所給條件列成2/3，3/2；（2）分子部分各是盈，不足之數。它們交叉相乘得4和9。（3）以4＋9作被除數，以分子2＋3作除數，得13/5，此為每人分得錢數。（4）按“置所出率，以少減多，余，以約法，實”，即3－2＝1，故得錢數13，人數5。通過兩次假設——盈和不足，使不能用算術***直接求解的問題獲得解答。

《筭數書》涉及的幾何知識包括面積和體積兩個方面的問題。面積有9個題名，其中6個題名是有關土地面積計算的。它們是“里田”、“少廣”、“啟廣”、“啟從（縱）”、“大廣”和“方田”。另外，“繒幅”，涉及面積求法；“以睘（圜）材方”和“以方材睘（圜）”是介紹圓與內接正方形與內切圓之間關系的問題。體積有6個題名。它們是“除”、“鄆都”、“芻”、“旋粟”、“囷蓋”和“睘（圜）亭”。它們介紹了正圓錐體、圓臺體、楔形體、上、下底為矩形的長方臺體等六種形狀幾何體體積的求解***。這些知識應當跟戰(zhàn)國時期筑城、挖壕、建倉和造房等工程的興建、維修計算工作量并合理分配勞動力有關系。

《筭數書》比傳世的《九章算術》成書年代約早200年。它的出土，使我們了解到公元前2世紀，甚至更早一些時候，中國數學發(fā)展的水平和數學專著的編纂水平，形成以下幾點認識：

第一，《筭數書》記錄了當時世界上最先進的分數四則運算和比例算法。科學的分數概念和運算法則，是中國古代數學家建立起來的。古埃及人曾有比較完整的分數形式，但由于太繁復，不便于運算。這就影響了古埃及算術的發(fā)展，后來也給希臘數學的發(fā)展設置了障礙。在希臘數學中缺乏分數約分和通分的法則，分數四則運算則更在其后。公元7世紀，系統的分數概念和運算法則才在印度流行，而歐洲還要遲得多。

第二，盈不足術在中國出現的時間不會晚于公元前2世紀。在***和歐洲早期的數學著作中，它被稱為“契丹算法”。“契丹”是當時西方和***人對中國的稱呼。由此可見，盈不足術是中國古代數學家的獨創(chuàng)。公元9世紀***數學家花剌子密提出雙假設法比中國古代數學家的盈不足術要晚一千多年。中國的盈不足術是以比率理論為依據導出的一種算法化的演算程式。它給不明算理的人提供了可按程序操作的應用***，把算術應用推到頂峯。

第三，《筭數書》中的題名“除”，即羨除。依魏晉之際杰出數學家劉徽的解釋：羨除，“實為隧道也。”按例題所述是楔形體，其體積求解公式是中國古代數學家的首創(chuàng)。

第四，《筭數書》采用“題——答——術”的編纂體例具有注重實用，著眼發(fā)展，便于普及的優(yōu)點。例題提出的數學問題來源于社會實踐，伴隨著社會實踐的發(fā)展，可以不斷收納新的問題，推動數學發(fā)展。例如從春秋戰(zhàn)國時期起，漆器逐漸興起，到秦漢時期終于取代了青銅器。生產漆器對生漆的需要量不斷加大。而漆樹只能生長在黃河中游的部分地區(qū)和長江流域的部分地區(qū)，產量很有限。為了保證生漆的供應，***在生漆產地設立漆園，派專門官吏管理。生漆要飲水，飲水的多少決定生漆的質量。法律規(guī)定，征收生漆要到官府試水、飲水。管理者必須掌握飲水的計算***。《筭數書》中“飲漆”，就是這種測試生漆質量的計算***。它納入《筭數書》肯定比“方田”要晚。在解決問題的***上，由具體事例入手，然后歸納出同類問題的一般解決辦法，即“答”后面的“術”。從全書的體例結構看，它是一種***的歸納體系。這種編纂體例直接影響著《九章算術》，并成為中國古代數學著作的傳統。（馬執(zhí)斌）