《莊子·天下》里有一句名言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是說，一尺長的木頭，今天砍一半，明天砍一半的一半，依次每天這樣砍下去，永遠都砍不完。

有人愛較真：“你怎么取？你有那么小的刀嗎！”

有人講科學：“物質并非無限可分割，小于普朗克長度是不可能的。”

其實這本身就是一句抬杠的話，是公孫龍等一干辯士懟惠施來的。

惠施說：“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一。無厚，不可積也，其大千里......”然后得意地向天下學人推銷他的理論。可惜這個理論太超前了，超前到大家覺得惠施就是個神經病，“一尺之棰”論就是用來調侃他的。連自詡“介于有用與無用之間”的莊周，在圍觀了他們的辯論后，也認為“由天地之道觀惠施之能，其猶一蚊一虻之勞者也。其于物也何庸！”說惠施白瞎了那么高的智商，天天整些個沒用的。

“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一”，說的是無窮大和無窮小；“無厚，不可積也，其大千里”，恰好應合了積分原理。惠施為天下學人送來了奔向微積分的馬車，結果眾人合力把路封了。

顯然古人沒有對微觀世界的認知，公孫龍本著實證精神提出的這一命題，他自己當然是不相信的。但將極限思想引入這一命題后，卻成為一句看似無比正確的話。不過這里面藏著兩重含義，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，不竭的是“棰”這件東西還是“取”這一動作？

拋開量子理論和實證精神不提，我們還得從數學的角度切入這個話題，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”可以把它轉化成這樣的數學表達式：

上述1/2、1/4、1/8......1/2^n...是個等比數列，它的項數有無窮多個，是謂“取之不竭”，而當n趨近于無窮大時，1/2^n趨近于無窮小，無窮小不等于零，則謂其“棰尚未竭”。說它萬世不竭還真沒毛病！

但里面有個大問題，“萬世不竭”里的“萬世”并不是個時間概念，我們不能以此構建與時間相關的函數表達式。啥意思呢？公孫龍所說的”日取一半“，是個動作概念，與時間無關，這相當于把上面的等比數列無窮多的項數從頭數到尾一個一個數，這誰數得完？“萬世不竭”可以證明的只是“取萬萬次而不竭”，至于“棰”竭沒竭，還是不能輕易下結論的。

同樣的故事，古希臘的同行們也講過。芝諾二分法悖論：“一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循環下去，永遠不能到終點。”

“日取一半”對應“走完剩下總路程的1/2”，“萬世不竭”對應“永遠不能到終點”，看著眼熟吧？意思大體相同，但有個關鍵的不同：在芝諾那里我們可以給定這個人的一個速度v。

如果是算路程，芝諾二分法悖論可以轉化成這樣的數學表達式：

盡管我們可以證明這個等比數列之和的極限為零：

但多出來的那個無窮小，還是少了些說服力，畢竟無窮小不是零，它的極限才是。

我們換個思路，不是說永遠到不了終點嗎？我們來求它的時間好了：

路程還差一個無窮小的時候，所用時間離1/v也差著一個無窮小呢！說好的永遠呢？

我們不妨把芝諾二分法悖論倒過來講，在不到1/v的時間里，“走完剩下總路程的1/2”這件事發生了無窮多次。相比起來，公孫龍的“日取其半”還真有點耍流氓的意思。

學習過極限運算，我們會知道無窮小和無窮大的乘積，可以是常數，可以是無窮大，也可以是無窮小。“一尺之棰”是個常數，只要公孫龍不耍賴，它會被取完的，而且不用萬世。