李冶和朱世杰

1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》，以及元代數學家朱世杰的《算學啟蒙下卷》《四元玉鑒》，都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

天元術是利用未知數列方程的一般***，與現代代數學中列方程的***基本一致，但寫法不同。它首先要立天元一為某某”，相當于設x為某某”，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。然后，通過類似合并同類項的過程，得出一個一端為零的方程。天元術的表示***不完全一致，按照李冶的記法，方程a0xna1xn-1.an-1xan=0可寫成如下形式：其中a0，a1，.，an表示方程各項系數，均為籌算數碼，在常數項旁邊記一太”字（或在一次項旁邊記一元”字），太”或元”向上每層減少一次冪，向下每層增加一次冪。方程列出后，再按增乘開***求正實根。

據史籍記載，金、元之際已有一批有關天元術的著作，如蔣周《益古演段》、李文一《照膽》、石信道《鈐經》、劉汝鍇《如積釋鎖》等（朱世杰《四元玉鑒》祖頤后序），可惜都已失傳。但在稍晚的李冶和朱世杰的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。

李冶（1192—1279），真定欒城（今河北欒城縣）人。生于大興府（今北京市）。曾為金代詞賦科進士，鈞州（今河南禹州市）知州，元翰林學士知制誥同修國史。晚年隱居于河北元氏縣封龍山下，收徒講學并勤于著述，與元好問、張德輝交往密切，時人尊稱龍山三老”。他在數學專著《測圓海鏡》（12卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。《益古演段》（3卷）則是他為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。

朱世杰，字漢卿，號松庭，生平不詳。所著《算學啟蒙》3卷，內容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全面的數學啟蒙書籍。《數學啟蒙》曾傳入朝鮮和日本，產生了一定的影響。

天元術的出現，提供了列方程的統一***，其步驟要比***數學家的代數學進步得多。而在歐洲，只是到了十六世紀才做到這一點。此外，宋代創立的增乘開***又簡化了求解數學高次方程正根的運算過程。因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明確的***和程式，中國古典代數學發展到了比較完備的階段。

不僅如此，繼天元術之后，數學家又很快把這種***推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰創立了四元術