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8.數(shù)字73

如果你是美劇《生活大爆炸》迷的話，就一定聽說過謝耳朵關(guān)于為什么73是完美數(shù)的演說，以下是原話：

“73是最好的數(shù)字。為什么呢？73是第21個(gè)質(zhì)數(shù)，它的對稱數(shù)字37恰是第12個(gè)質(zhì)數(shù)，而12的對稱21則是由3×7產(chǎn)生。

“73的二進(jìn)制1001001也恰是個(gè)回文數(shù)，正過來倒過去都是1001001。”

這句話取自第十季第四集的節(jié)目，巧合的是這是第73集中的臺(tái)詞。

7.自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)e

自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)e，又稱歐拉數(shù)。這個(gè)以瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉命名的無理數(shù)與π同樣重要。有趣的是，歐拉常數(shù)e已經(jīng)被精確到31415926535897位(2020年12月5日記錄)。

e的誕生來自于下面17世紀(jì)雅各布·伯努利在研究復(fù)利時(shí)所發(fā)現(xiàn)的公式：

對于上面式子考慮的極限值e到底是多少呢？伯努利并未成功算出，而是由50年后被歐拉攻破。歐拉不僅算出了e的18位數(shù)，并且還借助連分式的形式證明了e是一個(gè)無理數(shù)。

e的連分?jǐn)?shù)展開式如下所示，請觀察里面的規(guī)律：

注意到其中的模式了嗎：

很多增長過程的問題都可以用指數(shù)函數(shù)e^x來模擬，并且這里還有個(gè)很重要的性質(zhì)——它與自身的導(dǎo)數(shù)恒等。

就這個(gè)性質(zhì)下面是一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)小幽默圖片：

6.斐波納契數(shù)

提到歷史上比薩的列奧納多這位人物，或許很多人都不曉得，不過如要說起他的外號就是斐波那契，那多數(shù)人肯定聽說過。而排名第六位的斐波那契數(shù)也因這位數(shù)學(xué)家的外號而聞名世界。

1202年，斐波那契在所著《計(jì)算之書》研究了兔子繁衍成長率的問題，他用簡單的加法技巧創(chuàng)造了世界上最有趣的數(shù)列之一。順便說下，他還將現(xiàn)代數(shù)的書寫方式和位值表示法通過著書引入歐洲，這絕對也是非常重要的貢獻(xiàn)了。

公平地講，現(xiàn)在有證據(jù)表明早在6世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家在斐波那契之前就知道這個(gè)數(shù)列，但我們?nèi)匀话凑罩髁髡f法討論，繼續(xù)稱之為斐波那契數(shù)列吧。

斐波那契數(shù)簡單地由滿足下面這個(gè)簡單的遞歸方程構(gòu)成，并生成下面這個(gè)趨于無窮大的數(shù)列：

這個(gè)數(shù)列最美的地方在于它與自然界存在著緊密的聯(lián)系。舉個(gè)例子，人們可以在向日葵花盤能看到它的身影，也可以在雛菊花瓣觀察到它的蹤跡，以及小蜜蜂的筑巢，等等等等……，它似乎大自然最深處的秘密里處處隱現(xiàn)。

如果來觀察數(shù)列中相鄰的2個(gè)數(shù)，當(dāng)趨近無窮時(shí)，它們的比值(x_n/x_(n-1))會(huì)越來越接近1.61803398，也就是我們常說的黃金比例，我們會(huì)在后面再單獨(dú)討論這個(gè)美麗的數(shù)。

5.數(shù)字23

許多人都看過這樣的一部電影：金?凱瑞主演的《靈數(shù)23》。男主自從讀過一本帶有數(shù)字23的書，他似乎就被數(shù)字23纏上了。奇怪的是這個(gè)數(shù)字和他生活中很多事情似乎有神秘聯(lián)系，影片中這個(gè)數(shù)字這似乎是通靈的完美例子。

而在數(shù)學(xué)里，有個(gè)與一般直覺相抵的生日問題。它指的是只要有23人，這群人里有兩人同一天生日的機(jī)率就會(huì)大于50%。

如果有懷疑的話，不妨動(dòng)手來一起算下。求出至少兩人生日相同，重點(diǎn)在于算出每個(gè)人生日都不同的概率。

其中p'(n)就表示n個(gè)人中，每個(gè)人的生日日期都不同的概率。

計(jì)算可得，當(dāng)n=23發(fā)生的概率大約是0.507。順便提一下，如果總共有70個(gè)人概率就會(huì)高達(dá)99%。

4.Pi(π)與Tau(τ)

數(shù)學(xué)中最耀眼的明星陣營里必有圓周率的身影，人人都認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù)。它是圓的周長與直徑之比，如果畫一個(gè)直徑為1的圓，它的周長就等于3.14159…。人們把這個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)用字母π表示。

暫時(shí)不管這個(gè)中學(xué)時(shí)期的概念，先來看看下面這兩個(gè)有關(guān)π的事實(shí)：

它的小數(shù)部分是無限不循環(huán)的。我們都知道π的近似值是22/7，但我們沒法給出一個(gè)分?jǐn)?shù)精準(zhǔn)的描述π，因?yàn)樗且粋€(gè)無理數(shù)。

那么為什么還要提τ呢？τ被稱為圓常數(shù)，其值為圓的周長與半徑之比。一些數(shù)學(xué)家支持用τ來代替2π，也就圓的周長與半徑之比。因?yàn)楹芏鄦栴}中2π頻頻出現(xiàn)，這樣做能更便于計(jì)算和表達(dá)跟圓有關(guān)的問題。

3.歐拉恒等式

這就是為什么我在標(biāo)題中用了"美"這個(gè)詞。難以想象，數(shù)學(xué)中一些最美麗的概念，竟然有這么簡潔的形式。先來回顧一下之前提到的的概念：

自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)e。虛數(shù)單位i。圓周率π

上面這三個(gè)數(shù)就可以組合成下面這個(gè)方程，并得出-1這個(gè)簡單結(jié)果。

怎么從這三個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)得到-1的呢？正如前面介紹那樣是i擁有了把2變成-1的力量。歐拉恒等式是歐拉公式的一種特殊形式，后者如下所示：

把歐拉公式繪制到復(fù)平面上（以實(shí)數(shù)軸和虛數(shù)軸建立坐標(biāo)系），就會(huì)得到一個(gè)單位圓。

如果令x=π,我們就會(huì)得到如下方程：

了解到cosπ=-1以及sinπ=0,右邊就會(huì)出現(xiàn)-1：

還可以通過等價(jià)變換來讓方程變得更漂亮一點(diǎn)：

這樣就更加深刻，包含了數(shù)學(xué)中5個(gè)最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)：0、1、e、π和i。并且包含了三種最基本的算術(shù)運(yùn)算：加法、乘法和冪運(yùn)算。絕對令人驚訝的是，這些看似無關(guān)的數(shù)都被這個(gè)簡潔的公式聯(lián)系起來。

2.數(shù)6174

6174是卡布列克常數(shù)(以印度數(shù)學(xué)家D.R.Kaprekar命名)，又稱黑洞數(shù)。這個(gè)數(shù)有很有趣的特點(diǎn)，一個(gè)四位數(shù)如果按下面的方式反復(fù)計(jì)算，就會(huì)得到很神奇的結(jié)果。

取任意一個(gè)至少有2位數(shù)不同的四位數(shù)。分別把這個(gè)四位數(shù)按升序和降序的方式重新排列，會(huì)得到兩個(gè)新的兩位數(shù)。現(xiàn)在用這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)減小數(shù)。如果不等6174，重復(fù)第二步。

如果循環(huán)的次數(shù)足夠多，最終會(huì)得到6174。為什么無論選什么數(shù)字，都會(huì)得到6174，這就是神奇之處了。可以另外再看幾個(gè)示例，先用2714做個(gè)實(shí)驗(yàn)算下看看吧：

7421-1247=6174

換個(gè)數(shù)字，再拿3678試一試：

8763-3678=5085;8550-0558=7992;9972-2799=7173;7731-1377=6354;6543-3456=3087;8730-0378=8352;8532-2358=6174

這些數(shù)就像被吸入到黑洞里某個(gè)固定點(diǎn)中，故像6174這樣的數(shù)也被稱為黑洞數(shù)。而其他位數(shù)的數(shù)字也有類似的情況，比如9位數(shù)中有2個(gè)黑洞數(shù)：554999445和864197532，感興趣的朋友可以算下。

6174還屬于哈沙德數(shù)(Harshadnumber)，也被稱為尼云數(shù)，是指能夠被其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和整除的自然數(shù)：例如6174/(6+1+7+4)=6174/18=343。這就又為該數(shù)添了一筆神秘色彩。

1.黃金比例

之前提及過這個(gè)黃金比例，但這可能是世界上最為重要的比例，以下是它的一些有趣的特性：

1.618…與0.618…互為倒數(shù)，也就是1.618…的倒數(shù)是0.618…，0.618…的倒數(shù)是1.618…，人們稱兩者為黃金比例共軛。可以有這個(gè)式子表示出來：1/?≈1+?它在自然界中廣泛存在（就像前面提到的那樣）。有些樹的生長就是很好的例子，樹干先是自由向上生長，長著長著它就擁有了一個(gè)分叉，于是產(chǎn)生了2個(gè)新的起點(diǎn)，其中一個(gè)起點(diǎn)會(huì)長出2個(gè)是新的分叉起點(diǎn)，而另一個(gè)則不會(huì)。這個(gè)模式這個(gè)規(guī)律就好像是斐波那契數(shù)列一樣。黃金比例廣泛存在于幾何學(xué)中，許多建筑和藝術(shù)品中都含有黃金比例。希臘的巴特農(nóng)神廟就是典型的例子。五角星內(nèi)部也暗含著黃金比例。

上面就是所介紹數(shù)學(xué)上12個(gè)有趣之?dāng)?shù)，希望通過本文這一簡短的探索之旅，能讓對面的你能像數(shù)學(xué)家一樣欣賞數(shù)學(xué)之美，或能從一個(gè)新的視角來觀察周圍的環(huán)境并找到隱藏的美麗。

創(chuàng)組團(tuán)隊(duì)|編譯：小白校對:小白，公理