作者｜曹亮吉

來源｜選自《漲本事的數(shù)學(xué)密碼書》之《藏在旅行中的數(shù)學(xué)》分冊，好玩的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)獲授權(quán)轉(zhuǎn)載。

***數(shù)字、東西大不同？

第一次到印度及尼泊爾地區(qū)旅行，我就注意到他們的汽車車牌，有的用我們熟悉的***數(shù)字，有的則用另一種數(shù)字；我猜應(yīng)該是梵文數(shù)字，它是***數(shù)字的前身。幸好有的車掛兩個(gè)車牌，一左一右，一是***數(shù)字，一是梵文數(shù)字。經(jīng)過幾次的做筆記，幾次的核對，不久我就有了兩種數(shù)字的對照，如下表中一、三兩行所示：回家后查了資料，大致了解了***數(shù)字的歷史。印度在公元前三世紀(jì)的阿育王時(shí)代，就有了1至9的婆羅門數(shù)字（表中的第四行），后來逐漸演變成梵文數(shù)字。不過依據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)，代表零的符號，要遲至九世紀(jì)才出現(xiàn)在瓜廖爾（Gwalior）地方小廟的墻上。瓜廖爾位于以泰姬陵出名的阿格拉（Agra）正南方約100km的地方。一般旅客會(huì)到那里，是去看雄偉的瓜廖爾城堡，及堡內(nèi)富麗堂皇的廟宇與宮殿。大概很少人會(huì)去注意那個(gè)小廟及那個(gè)小小的0。公元七世紀(jì)***人興起，到九世紀(jì)時(shí)，吸收了印度（梵文）數(shù)字，逐漸發(fā)展成東***數(shù)字（前面表中第二行）及西***數(shù)字兩種寫法。西***數(shù)字再傳到歐洲，就是現(xiàn)在所說的***數(shù)字。東***數(shù)字現(xiàn)在仍然流行于埃及、敘利亞、***、波斯等地區(qū)，你可在這些地區(qū)的機(jī)場看到東、西***數(shù)字的并列使用，來驗(yàn)證東***數(shù)字的寫法。（伊朗的兒童電影《天堂的孩子》中，參加馬拉松賽跑的小朋友，胸前的號碼布條上所寫的就是東***數(shù)字。）從婆羅門數(shù)字到***數(shù)字，我們可以觀察其演變。有些演變有跡可循，譬如1、2、3；有些像5的變化，就看不出所以然。***數(shù)字還會(huì)演變嗎？我猜不會(huì)，因?yàn)楝F(xiàn)在計(jì)算機(jī)通行全世界，這些數(shù)字寫法已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化了；我相信手寫的變體4及7逐漸會(huì)消失。不過從表中，我們看出最特別的是婆羅門數(shù)字沒有0，梵文數(shù)字才有0，這是***數(shù)字能夠征服世界的秘密所在。想想看，沒有0會(huì)怎么樣？102要寫成為12，120的寫法也一樣，兩者連同12就分辨不出來。也許102該寫成為12，1與2之間空一格；而120該寫成12，后面空一格，傳統(tǒng)的籌算記法就是如此（∣∣∣或∣＝）。不過空幾格不容易寫清楚、看清楚，于是中文就有了位名：一百二（102）或一百二十（120）。沒有0，就要生出十、百等位名，才能解決問題。計(jì)算時(shí)，幸而有位置定值的籌算或算盤，才不會(huì)受到位名的干擾。歐洲人原來用的記數(shù)系統(tǒng)也都需要位名的幫忙（計(jì)算時(shí)則用類似于算盤的算板）。有了***數(shù)字，用十個(gè)符號就能寫下任何的數(shù)目，而且可以直接用來計(jì)算。有人說0是數(shù)學(xué)中最偉大的發(fā)明，它原本代表沒有，但它在位值表法的系統(tǒng)中，往往無中生有，確切表示出數(shù)目來。***數(shù)字通行全世界，讓我們出門在外買東西殺價(jià)，不怕弄不清楚：用***數(shù)字筆談可也。野獸的房間旅行團(tuán)來到非洲津巴布韋維多利亞市，準(zhǔn)備觀賞維多利亞瀑布及鄰國博茨瓦納的丘比（Chobe）國家公園。在象丘飯店（ElephantHillsHotel）里，領(lǐng)隊(duì)依例讓團(tuán)員自選房間鑰匙，有對夫婦很高興搶到了666號房間的鑰匙──六六大順，六六六大大順了！到了六樓，從電梯旁的房間開始，660、661……665，再隔壁一間，奇怪了，居然是665A，再隔壁一間是667。666在哪里啊？回頭找柜臺，柜臺說665A就是666，但說不出為什么。《圣經(jīng)·啟示錄》13:18節(jié)說666是“野獸數(shù)”，聰明的人可算出誰有“野獸數(shù)”，就知道誰是那頭害人的野獸。我知道在基督教的世界里，666成了邪惡的數(shù)目，但房間號碼避開不用，倒是開了眼界。古代的希臘借用字母來表數(shù)目：第一個(gè)到第九個(gè)字母依序表1到9；第十到第十八字母依序表10、20到90；第十九到第二十七字母依序表100、200到900。在這個(gè)系統(tǒng)中，至多用三個(gè)字母就可以表1到999的任一個(gè)數(shù)目。如果要表1000，則在表1之字母a的前面加一逗點(diǎn)成“,α”，以此類推。希臘原有24個(gè)字母，再借用三個(gè)外來的字母?、?、?。字母、發(fā)音及相應(yīng)數(shù)目如表所示：（希臘字母無法正常顯示）拉丁的字母就是從希臘字母演變來的，所以英文取希臘頭兩個(gè)字母，而稱字母為alphabet。西方數(shù)學(xué)源自希臘，所以常用希臘字母作為數(shù)學(xué)符號。“阿門”（Amen）的希臘文為αμην，這4個(gè)字母各表1、40、8、50，相加得99，所以希臘祈禱文的最后會(huì)寫上代表99的兩個(gè)字母?θ。把一個(gè)人名字的字母，改成相應(yīng)的數(shù)目再加起來，就是這個(gè)人的“數(shù)目”。占卜者可用每個(gè)人的“數(shù)目”來預(yù)卜其前途。這種想法還傳到其他地方，成了西方的一種“術(shù)數(shù)”。譬如兩個(gè)人決斗，可先算這兩個(gè)人的“數(shù)目”，譬如各得503及718，然后算其9余數(shù)，各為8及7，那么9余數(shù)大者決斗會(huì)贏。一個(gè)人的“數(shù)目”如果是“野獸數(shù)”666，他就是野獸了。那么《圣經(jīng)·啟示錄》13:18節(jié)所指的野獸是誰呢？當(dāng)然，一再嘗試，可讓很多人現(xiàn)形，其中最有名的是羅馬皇帝尼祿。這是猶太人把尼祿皇帝（CaesarNero）用希伯來字母寫出來后，依據(jù)字母換數(shù)目，再相加所得的結(jié)果。用拉丁文、希臘文，尼祿不是野獸，但殺害猶太人的尼祿，用了希伯來文就算出了真面目。數(shù)本來是用來數(shù)東西的多少，或表示量的多寡，但東西文化都一樣，會(huì)把數(shù)神秘化，而衍生了種種的“術(shù)數(shù)”。到維多利亞瀑布，可順道過邊界，到博茨瓦納的丘比國家公園，近距離看象群。

解讀羅馬數(shù)字

有些大建筑在其墻面上會(huì)留下建造的年代。在歐美通常用公元年代，有的用***數(shù)字，有的用羅馬數(shù)字來表示。所以看得懂羅馬數(shù)字，在歐美旅行會(huì)增加一些樂趣。

不出國，偶爾能看到羅馬數(shù)字的地方，是有些大鐘的鐘面上。我們就從這種鐘面上的1至12，I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII、IX、X、XI、XII，來開始認(rèn)識羅馬數(shù)字。

1是I，2是兩個(gè)I：II，3是三個(gè)I：III。4照理說應(yīng)該是四個(gè)I，但卻寫成IV，它的意義從5（V）與6（VI）就可看得出來：顯然5用了一個(gè)新的字母V來代表，6（VI）當(dāng)然就是5+1了。那么4（IV）就可以解釋成5-1。相對于I擺在V的右邊表5+1（加法原理），I擺在V的左邊就是5-1（減法原理），如此一來VII表7，VIII表8就很自然，而認(rèn)定新出現(xiàn)的字母X表10，則IX表9，XI表11，XII表12也就理所當(dāng)然。

羅馬數(shù)字以L表50，C表100，D表500，M表1000，加上已經(jīng)知道的I表1，V表5，X表10，再用上述的加法原理及減法原理，則用這些字母就可表示4000以下的數(shù)目了。

那么4000怎么表示？引用前面的原理，就先要有一個(gè)字母表5000。但羅馬人沒用一個(gè)字母表5000，而是用MMMMM來表示；當(dāng)然4000就用MMMM表示了。簡單說，有多少個(gè)千，就用多少個(gè)M來表示。大概羅馬人很少用到5000以上的大數(shù)目吧！

建筑上有MCMLX，表示它是1960年建造的。可不可以把MC看成1100，加上MLX（1060），就是2160？不可以，因?yàn)镃在第二個(gè)M的左邊，而C比M小，所以就表示M-C，就是900。

用希臘字母表數(shù)目，字母的順序是無關(guān)緊要的，代價(jià)是要用較多的字母。用羅馬字母表數(shù)目，所用的字母較少，但順序就得注意點(diǎn)。用***數(shù)字，順序變成絕對重要，因此用十個(gè)數(shù)字符號，就可表任何數(shù)目。這十個(gè)數(shù)字中，0最重要了。古希臘或羅馬都沒有代表0的數(shù)字符號，60就用LX表示，601就用DCI表示。古代的中國也沒有0，60就用“六十”表示，601就用“六百一”表示；“六百一”不是610，“六百（一）十”才是610。

羅馬數(shù)字與***數(shù)字不同，不是位置定值的，因此數(shù)目之間的四則運(yùn)算就無法有效進(jìn)行。譬如兩數(shù)相乘，你如果將乘數(shù)與被乘數(shù)的數(shù)字字母成對相乘，其后并不能把各乘積就相加，因?yàn)楸硪粋€(gè)數(shù)時(shí)，字母之間有時(shí)用的是減法。

羅馬人雖然用字母的組合表數(shù)目，但做四則運(yùn)算時(shí)，則用算板。算板上畫著幾條平行的直線，就像五線譜那樣：第一線是表1的位置，第一間是表5的位置，第二線是10，第二間是50，以此類推。將4顆石頭擺在第一線上就代表4；第一間放著1顆石頭就代表5，若再加進(jìn)第2顆石頭，5×2得10，可把這兩顆石頭拿掉，代之以1顆石頭放在第二線上。

古老的大鐘面常用羅馬數(shù)字。此為瑞士伯爾尼市區(qū)內(nèi)的牢獄塔。

算板上的擺法與算法，其實(shí)和算盤很類似。兩者數(shù)目的表法其實(shí)是***式的位置定值法（只是多了5、50等輔助值），而不是羅馬式的。位置定值法所需表空位的0，算板（或算盤）只在相應(yīng)的位置不擺石頭就好了。

羅馬人的記數(shù)法和算術(shù)的計(jì)算無關(guān)，而***的記與算則是合二為一的。西方人一開始沒有馬上接受***數(shù)字，不過到底記與算合一是非常方便的，所以***數(shù)字終于征服了西方人，乃至全世界的人。

***數(shù)字是排列式的，羅馬數(shù)字是半組合、半排列的，希臘數(shù)字是組合式的，于是，排列征服了組合。

不過羅馬數(shù)字還是掙扎著留在建筑的墻面上、大鐘的鐘面上，因?yàn)槿擞袘雅f的心理，就像家里掛著甲骨文的字帖那樣。

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