科學(xué)計算器開n次方（科學(xué)計算器開n次方根怎么用）

小七
生活
2023-04-19 13:34

方程（equation）在數(shù)學(xué)之中有著很高的地位，我們常見的有一次、二次和三次方程等等，并且我們還能通過部分方程的求根公式來進(jìn)行求解方程的根。本文主要針對的是一般性的一元n次復(fù)系數(shù)方程，即是滿足下圖的方程：

那么由高斯定理可知，滿足上式該n次系數(shù)方程的根就有且僅有n個。注意：根據(jù)伽羅瓦群理論，五次及五次以上方程沒有求根公式，即不能以代數(shù)數(shù)的形式寫出方程的根，但是不是說這種方程沒有解，使用超越函數(shù)（如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）還是可以表示該方程的解。但是有的時候我們求解某些方程過于繁瑣，且存在約束條件的情況下并不需要完全求解方程，而且若是含有超越數(shù)（如圓周率π、自然常數(shù)e等）的方程，求解過程也會略顯困難。因此人們想要另辟蹊徑，想要找尋其他高效的方式來求解方程，在此期間涌現(xiàn)出了大量的求解***如：二分法、不動點迭代等。本文主要介紹另一種優(yōu)化的不動點迭代法——牛頓迭代法（Newton-Iterative-Method）。

牛頓迭代法也稱為牛頓-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它不僅適用于方程或方程組的求解，還常用于微分方程和積分方程求解，可見它的重要性。其***基本原理如下：

設(shè)f(x)∈C2[m，n]，對f(x)在x?∈[m，n]領(lǐng)域內(nèi)對其進(jìn)行泰勒展開，得如下結(jié)果：

舍去二次項，得到f(x)的線性近似式：

這也是關(guān)于x?這一點的切線方程，由此得到方程f(x)=0的近似解：

即可得出關(guān)于x的迭代格式：

在此給出關(guān)于牛頓法的幾何意義：牛頓迭代法也稱為牛頓切線法，這是由于f(x)的線性化近似函數(shù)是曲線y＝f(x)過點（x?，f(x?)）的切線而得名的，將該零點代之f(x)的近似方程以求的零點，即切線T與X軸交點的橫坐標(biāo)，真實的根值為X*，牛頓迭代法實質(zhì)上是一種線性化***，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解。

那么牛頓迭代法是收斂的嗎？或者說是否對于任意的初始值x?都能夠保證該迭代的結(jié)果收斂到X*？下面將通過代數(shù)解析的方式來說明其收斂性：

將牛頓迭代式寫成如下形式，即可獲得的不動點迭代形式：

這樣就可以應(yīng)用不動點迭代的收斂原則，只須證明在根β附近的迭代函數(shù)是一個壓縮映象，即可證明其收斂性。由于

這里的根β是單根，即f(β)=0且f'(β)≠0，于是：

由于γ(x)的連續(xù)性可知，存在一個領(lǐng)域（β-δ，β+δ)，對該領(lǐng)域內(nèi)的任意x，都有|γ'(x)<q|，其中0＜q＜1，因此γ(x)為區(qū)間（β-δ，β+δ)上的一個壓縮映像，于是我們可以得到如下結(jié)論：

由此可見，牛頓迭代法的局部收斂性較強，所以只有初值充分地接近，才能確保所迭代序列的收斂性。為了放寬對局部收斂性的限制，必須再增加能夠使該序列收斂的充分條件，

上式可以化為以下幾種情況：

其中①保證了零點的存在性；②保證了函數(shù)的單調(diào)性，同時也保證了在區(qū)間[a，b]內(nèi)有唯一的零點；③保證函數(shù)的凹凸不會改變，④與③保證了每一次的迭代生成的值都在區(qū)間[a，b]之中；反映到圖像上如下：

若選取初始值不滿足上述條件時，會出現(xiàn)越迭代越遠(yuǎn)甚至死循環(huán)的情況，比如下圖這些情況：

介紹完牛頓法的性質(zhì)和原理，那么我們能夠用它來做些什么呢？即前面說到可以用來進(jìn)行方程的求解。假設(shè)給定正數(shù)a，建立如下關(guān)系式：

則f(x)=0的正數(shù)解就是其算術(shù)平方根。那么用牛頓迭代公式可得：

由于當(dāng)x＞0時，f'(x)=2x＞0，f''(x)=2＞0，故由收斂定理可知，對于任意滿足條件x?>√a的初始近似值，由選代公式所產(chǎn)生的序列必定收斂于√a。